Sayılar

Sayı nedir?
Sayı bir düşünce aracıdır, bir fikirdir. Sayılarla çok farklı eşya kümelerini karşılaştırabiliriz. Sayılar sayma işleminin arkasındaki fikirdir. Fiziksel olarak, bir şey sayılarla ifade edilemiyorsa, bilim değildir. If something exists, it exists in an amount, and it can be measured.
Rakam nedir?
Rakamlar sayıları göstermek için kullandığımız sembollerdir.
Basamak nedir?
Basamak sayıların alfabesidir.
Sayı sistemimizin kaynağı nedir?
Bugün kullandığımız rakamlara Hint-Arap rakamları denir. Hintliler, Mısırlılar, Persler ve Arapların kullanıp geliştirdikleri işaretlerdir. Sayı sisteminin ülke ülke dolaşan tüccarların elinde geliştiği ve böylece de bir çok kaynaktan çıktığı tahmin ediliyor. Fakat en büyük sayıları rakamlar kullanarak ifade eden ilk insanlar Hintlilerdir. (TÜBİTAK tarafından tercüme ettirilip satışa sunulan, Georges Ifrah'ın Rakamların Evrensel Tarihi ilgilenenlere şiddetle önerilir.)
Sıfır nereden geldi?
Sıfır Hintlilere atfedilir. Onlar sıfırı bugün bizim kullandığımız biçimde kullanan ilk insanlardır. Hintliler sıfırı küçük bir daire ile gösterirlerdi. Bu dairenin adı shunya ("boşluk, boş", Sanskrit) idi. Bu kelime miladi 800'lerde Arapça'ya sıfr olarak tercüme edildi. İngilizce'de biraz daha değişmiş haliyle, zero olarak halen yaşamaktadır.
Bu arada "sıfır=0", "cifir=kutsal metinlerden gematria (ebced), temurah (permutasyon) ve notariqon (akrostiş) usulleriyle okült (batıni, içrek, gizli) bilgiler çıkarma yöntemi, yani gizemin matematiği" ve "cebir=matematiğin bir dalı" kelimeleri arasındaki tesadüf ötesi benzerliğe dikkat ediniz. Halen kullandığımız "şifre" kelimesi bunların birinden ya da hepsinden birden etkilenerek geliyor olmalı.
Bir anda görmek için hepsini tablo halinde yazalım:
sıfır "sıfr" zero 0
cifir "cifr" to cypher veya cipher=şifrelemek
to decipher=şifreyi çözmek, deşifre etmek
chiffre (fr) gematria (ebced)
temurah (permutasyon)
notariqon (akrostiş)
cebir "cebr" algebra "el-cebr" cebir (math)



"+" ve "-" işaretleri nereden geldi?
"+" işareti Latin "et=ve, ekle" kelimesinden geliyor. Bu iki işaret 15. yüzyılda ticari kutu veya sandıkların ağırlıklarının fazla veya az olduklarını göstermek için kullanılırdı. 40 sene içinde muhasebeciler ve matematikçiler onları kullanmaya başladı.
"=" işaretini kim keşfetti?
1557 de Robert Recorde aynı uzunluktaki iki paralel çizginin eldeki diğer şeyler kadar eşit olduğuna karar vermişti.
Mükemmel sayılar:
Kendisi hariç, çarpanlarının toplamına eşit olan sayı. Örnek 28=1+2+4+7+14
Asal sayılar:
Kendisinden ve birden başka hiç bir sayıya tam olarak bölünemeyen sayılar. 2, 3, 5, 7, ... gibi.
1 niye asal değildir?
1 asal kabul edilseydi, herhangi bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde birden fazla biçimde ifade edilebilirdi. Bu matematikte kabul edilmez.
Asal çarpan:
Bir sayının asal sayı çarpanı.
Bir sayının 0. kuvveti niye 1'dir de sıfır veya başka herhangi bir sayı değildir?
Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1 olarak tanımlanır, böylece sayının her kuvveti öncekinden bir çarpan daha büyük olur. Yani,
20=1
21=2=2x1
22=4=2x2
23=8=2x4
24=16=2x8 ...
Googol nedir?
1 den sonra 100 sıfır yazılarak elde edilen sayıya bu ad verilmiştir (yani, 10100). Şimdiye kadar isimlendirilen en büyük sayılardan biridir. Googolplex googoldan da büyük bir sayıdır. Bir googolplex 1 den sonra bir googol sıfır yazılarak elde edilen sayıdır. Bu sayıyı yazmak için Dünya-Ay arası uzaklığın yetmeyeceğini iddia edenler var.



Bunları biliyor muydunuz?

1729 iki kübün toplamı olarak iki ayrı biçimde ifade edilebilen en küçük sayıdır.
1729=103 + 93 = 123 + 13.
Bunu ilk fark eden Hintli matematikçi Ramanujan'dır. İlginç olan bu işlemi daha sayıyı duyar duymaz zihninden yapmış olmasıdır. Bu sayıya Ramanujan sayısı denir.

9'un 9. kuvvetinin 9. kuvveti, yani 999, sadece üç rakamla ifade edilebilen en büyük sayıdır. Bu sayıyı henüz kimse hesaplayamadı. (Siz hesaplayabilir misiniz?) Cevap 369 milyon basamaklı bir sayıdır.

1 den 10 milyara kadar olan sayılar içinde asal olan 664580 sayıyı içeren tablolar yapılmıştır. Bilinen en büyük asal sayı 2127 - 1'dir. Bu sayı 39 basamaklıdır.

İnsan saç telinin kalınlığının santimetrenin 3/400 u kadar olduğu tahmin ediliyor. Yani, 133 saç telini yan yana koyarsanız 1 cm olur.

Brahminlerin (Hindistan'da rahipler kastı) sahip oldukları bilgileri diğer kastlardaki kardeşlerinden ve feodal beylerden saklı tutma endişeleri onları Sutralar diye bilinen gizli kodları kullanmaya itmiştir. Aşağıdaki ilahi (Sanskrit) kodlanmış bir matematik bilgisidir:
GOPI BHAGYAMADUV RATA SHRINGISHODADI SANDIGA, KALA JEEVITARAVA TAVA GALADDHALARA SANGARA.
Bu ilahi Tanrı Krishna'ya övgü olarak söylenir. Ondaki gizli anlamı çıkarmak kolay değildir. Fakat kodu çözülünce p sayısını virgülden sonra 30 basamağa kadar verir.

Şimdi de pisagor teoremini kanıtlayan Pythogoras hakkında bir öykü. Pytho bir gün bir demirci dükkanının önünden geçiyordu. Örse vuran çekiçlerin çıkardıkları ahenkli sesler ilgisini çekti ve durup dinlemeye başladı.
5 demirci çalışıyordu ve her birinde farklı büyüklüklerde çekiç vardı. Pytho çekiçlerden düzenli olarak çıkan seslerin bir müzik parçasına benzediğini duyup hayret etti. Dinledikçe fark etti ki, her çekicin ağırlığının farklı olması, örse vurduklarında değişik notalardan ses vermesini sağlıyordu. Çekiç ne kadar ağırsa nota o kadar düşüktü.
Sonra bir çekicin seslerin ahengini bozduğunu fark etti. Demircilerden çekiçleriyle bir deneme yapmak için izin istedi. Demirciler kabul etti.
Her çekici dikkatle tarttı. Ahengi bozan çekicin basit bir sayı düzenine uymayan ağırlığa sahip olduğunu buldu. (Diğer çekiçlerin ağırlıkları, bir sayı dizisi oluşturacak şekildeydi.) İncelemelerine devam ettikçe, farklı büyüklüklerdeki çekiçlerle bir müzik skalasını nasıl oluşturabileceğini öğrendi.
Bu, bir matematikçi tarafından müzikte yapılan en büyük ve en eski keşiflerden biriydi.




Bazı sayısal anekdotlar
5 adet 2 kullanarak 0-9 arası sayıları elde etmek:
2+2-2-2/2=1
2+2+2-2-2=2
2+2-2+2/2=3
2*2*2-2-2=4
2+2+2-2/2=5
2+2+2+2-2=6
22/2-2-2=7
2*2*2+2-2=8
2*2*2+2/2=9
2-2/2-2/2=0
Şimdi de şuna bakın:
1*1=1
11*11=121
111*111=12321
1111*1111=1234321
11111*11111=123454321
111111*111111=12345654321
1111111*1111111=1234567654321
11111111*11111111=123456787654321
111111111*111111111=12345678987654321
153'ün hikayesi nedir? Bu sayı rakamlarının küplerinin toplamına eşittir.
153 = 13 + 53 + 33
Aynı özelliğe sahip diğer sayılar şunlar:
370=33+73+03
371=33+73+13
407=43+03+73
1634'ün hikayesi nedir? Bu sayı rakamlarının 4. kuvvetlerinin toplamına eşittir.
1634=14+64+34+44
Aynı özelliğe sahip diğer sayılar şunlar:
8208=84+24+04+84
9474=94+44+74+44
4150 ve 4151 in de benzer hikayesi var:
4150=45+15+55+05
4151=45+15+55+15
2025, 3025 ve 9801 sayılarının başları kel mi? Bu sayıları iki kısma ayırdıktan sonra bu kısımları toplayarak karelerini alırsak aynı sayıları buluruz:
20 + 25 = 45
452 = 2025
30 + 25 = 55
552 = 3025
98 + 01 = 99
992 = 9801
Doğal sayılarda a2 + b2 = c2 + d2 eşitliğine bir örnek:
102 + 52 = 112 + 22
Başka var mı?
Hangi sayının rakamları kendi kuvvetlerine gönderilip toplanırsa ilk sayıyı verir?
0 ve 1 dışında böyle iki sayı var: 3435 ve 438,579,088 sayıları.

3435=33+44+33+55
438,579,088=44+33+88+55 +77+99+00+88+88
Soru: 438,579,088 den daha büyük başka bir sayının böyle bir özelliğe sahip olamayacağını kanıtlayabilir misiniz?
4 de güzel bir sayıdır:
4 = 2+2 = 2*2 = 22
0 ve 2 den başka çarpımları toplamlarına eşit tamsayılar yok. Tamsayı şartı kaldırılırsa, böyle sayıları veren bir kural bulunabilir mi?
Evet ama hangi sayılar?

Üç sayıyla böyle bir işlem yapılabilir mi? Evet.
1 + 2 + 3 = 1 . 2 . 3 = 6
Peki, herhangi üç sayının aynı özelliği taşıması için bir kural bulunabilir mi?
8 adet 8 i toplayarak 1000 elde edebilir misiniz?
888+88+8+8+8 = 1000
8 ile ilgili daha ne var?
88=9*9+7
888=98*9+6
8888=987*9+5
88888=9876*9+4
888888=98765*9+3
8888888=987654*9+2
88888888=9876543*9+1
Bitmedi:
12345679*8=98765432
Şimdi bir oyun oynayalım:
Bir sayı yazın.
Bu sayıyı tersinden yazın.
Küçüğü büyükten çıkarın.
Farkın rakamlarını toplayın.
Bu toplamın basamak sayısı 1 den fazlaysa, rakamları bir daha toplayın.
Böyle devam ederseniz daima 9 bulursunuz.
Uygulama:

2578
8752
8752-2578=6174
6+1+7+4=18
1+8=9
8 dışında 1-9 rakamlarını sırayla yazarak 9'un katlarıyla çarpmayı denediniz mi?
12345679*9=111111111
12345679*18=222222222
12345679*27=333333333
12345679*36=444444444
12345679*45=555555555
12345679*54=666666666
12345679*63=777777777
12345679*72=888888888
12345679*81=999999999
Tek sayıların toplamlarının neyi verdiğini hiç düşündünüz mü?
1=1=12
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
1+3+5+7+9+11=36=62
...
Peki ya sayıların küplerinin toplamlarının?
13=1=12
13 + 23 = 9 = 32 = (1+2)2
13+ 23+ 33= 36 = 62 = (1+2+3)2
13+ 23 + 33 + 43 = 100 =102 = (1+2+3+4)2
...
142857 apayrı bir güzelliktir. Buna dairesel sayı diyelim. Bir daire çevresine bu sayının rakamlarını yazar ve sayıyı 1-6 arası herhangi bir sayıyla çarparsanız daire çevresinde bir rakamdan başlayarak aynı sırayla başka bir sayı elde edersiniz.
142857*1=142857
142857*2=285714
142857*3=428571
142857*4=571428
142857*5=714285
142857*6=857142
7'yle çarpın. Sürpriz!
142857*7=999999
Burada bittiğini sanıyorsanız, bir de 7'den büyük sayılarla çarpmayı deneyin:
142857*8=1142856
Eee? Ne var1142856'da? Dikkatle bakın. Bu sayıda ilk sayının 7'si yok ama 7'nin bulunması gereken yerde 6, başta da 1 var. Yani, 6+1=7. Gerisi yine ilk sayıdaki sırasıyla aynı rakamlar. Çarpmaya devam ederseniz, ilk sayının diğer rakamlarının da değişik biçimlerde iki parçaya ayrıldığını göreceksiniz.
142857*9= 1285713
142857*10= 1428570
142857*11= 1571427
142857*12= 1714284
...
Bir güzelliği daha var:
142857*142857=1428572= 20408122449
Bu sayıyı 20408 ve 122449 olmak üzere iki kısma ayırıp bunları toplarsak,
20408+122449=142857
Bu güzel sayı nereden geliyor dersiniz?
1/7=0.142857142857142857...
Başka dairesel sayı var mı? Evet. İşte:
526 315 789 473 684 210.
Bu sayıyı 1-200 arasındaki hangi sayıyla çarparsanız çarpın, rakamlarının sırası aynı kalacak şekilde bu sayının başka bir dizilişini bulursunuz.
Hiç aklınıza gelir miydi?
12345679*999999999=12345678987654321=1111111112
Su çarpma işleminde ilginç bir şey var mı?
138*42=5796
9 rakamın hepsi kullanılmış ve hepsi de farklı. Bunun gibi 9 çarpım daha yazılabilir:
12*483=5796
18*297=5346
39*186=7254
48*159=7632
27*198=5346
28*157=4396
4*1738=6952
4*1963=7852
Şu çarpma işleminin bir özelliği var mı?
8712=4*2178
Evet! Bu işlem "hangi sayı 4 ile çarpıldığında, aynı sayıyı tersten verir?" sorusunun cevabıdır.
0 hariç 1 den 9'a kadar bütün rakamları sırayla yazın (123456789). Uygun yerlere "+" veya "-" işaretleri koyarak 100 elde edin.
Bir cevap şöyle:

12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100
Başka bir cevap daha var:
123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100
Acaba başka var mı? Biraz düşünün bakalım.
"/" işaretine de izin verilir ve rakamları sırayla yazma şartı kaldırılırsa,nasıl bir çözüm bulunabilir:
Belki de bu kadar müsrif olmamak gerek. İnsan 9 rakamla neler yapmaz ki!
Öyle bir sayı yazalım ki, bu sayının soldan ilk rakamı sayıdaki sıfırların sayısını, 2. rakamı sayıdaki 1'lerin sayısını, 3. rakamı sayıdaki 2'lerin sayısını ... versin.
n sayımızın basamak sayısını göstersin.

n=1: yazılamaz
n=2: yazılamaz
n=3: yazılamaz
n=4: 1210, 2020
n=5: 21200
n=6: yazılamaz
n=7: 3211000
n=8: 42101000
n=9: 521001000
n=10: 6210001000


n>10: (n-4), 2, 1, 0 * (n-7), 1, 0, 0, 0